逃的过一时，逃不过一世>_<某志还是要无奈的复习D3D相关几何线代知识。呼，还是从0开始这方面的复习吧。

D3D立体几何和线性代数知识

（一）向量

  1. 向量基本相关概念

我们在物理学中，常用一个有方向的线段来表示我们的作用力，它就是向量表示法，向量具有两大要素：长度，方向。

由于位置并不是向量的特性，所以，我们无论向量进行如何的平移，我们都认为它是相等的。

因为向量本身具有着方向的特性，所以我们的任何空间坐标系都对其无效，不会改变一个向量的任何信息，我们要想获得该向量在改变后的坐标系中的性质，需要重新进行计算，但是我们说这个向量并没有发生任何变化。

因为我们的向量在空间可以随意的平移并且不变，所以我们终究能获得一个尾顶点为坐标系原点的一个相等向量。此时该向量的表示由其头顶点坐标表示。所以向量的记录表示很类似于一个点(x,y,z)，但从意义上来说，它与点不同，有长度和方向。

向量的长度，我们称之为模，以前也有称为强度的，我爱称之为模，相对现在更流行些。

  1. 特殊向量
  • 零向量：各成分均为0的向量。(0,0,0)
  • 单位向量：当向量的模为1时，我们称其为单位向量。
  • 标准基础向量：分别沿着坐标系三轴前进的三个单位向量。(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)只有这三个。
  1. 向量模的算法

一向量u(x,y,z)的模|u|*|u|=x*x+y*y+z*z，也就是说向量模等于向量各数值的平方和再开根号。

  1. 标准化向量

我们将向量的各成分除以其模，则获得一个新的向量，该向量模为1，是个单位向量，该过程叫标准化向量。

  1. 向量加减

我们可以将相同维数的向量进行相加，相减，得到的新向量值为此两向量中每个成分元素的和或差

例N=U-V=(Ux-Vx,Uy-Vy,Uz-Vz)

  1. 向量的数乘

我们将一个向量和一个常量数值进行相乘，将获得一个新的向量，它的方向不改变，仅仅是模有增减。当我们乘的常量数值为负数时，则此向量方向进行反转。

例N=kU=(k*Ux,k*Uy,k*Uz)

  1. 向量的点乘，叉乘

两个向量进行点乘S=UV=(Ux*Vx,Uy*Vy,Uz*Vz)，它将得到一个新的向量

两个向量进行叉乘P=U*V=[(Uy*Vz-Uz*Vy),(Uz*Vx-Ux*Vz),(Ux*Vy-UyVx)]，它将得一个垂直于原来两个向量的新向量

（二）矩阵

  1. 矩阵相关概念

一个mXn矩阵表示是一个m列n行的矩形阵列。 矩阵中元素下标为Vmn。

当我们的矩阵仅有一行或者一列时，我们称其为列矩阵（列向量）或者行矩阵（行向量）。

  • 方矩阵：行数和列数相等的方型矩阵。
  • 单位矩阵：首先它是一个方型矩阵，当它对角线上的值都是1，而其他元素均是0时。我们称之为单位矩阵。、
  • 逆矩阵：首先它必须是一个方型矩阵，它是将此矩阵中的所有元素行列下标进行转换得到的矩阵。
  • 转置矩阵：我们将一个矩阵的行列进行互换则得到一个它的逆置矩阵，它不要求是方矩阵。
  1. 矩阵乘法运算

我们3D绘图全靠这个了，注意咯

我们计算A矩阵*B矩阵时，要求A矩阵行数必须和B矩阵列数相等。乘法公式我第9章有说。

当任何矩阵，乘以一个单位矩阵时，其值不发生任何改变。

当一个矩阵乘以它的逆矩阵时，其值必为一个单位矩阵。

  1. D3D中矩阵乘法运算

我们在D3D程序中，通常是使用4*4的矩阵以及1*4的列向量。对于他们的乘法，我这里更详细的说明一下

  • 当一个1X4的列向量和一个4X4的矩阵相乘时，其结果是一个1X4的列向量
  • 当一个4X4的矩阵和一个1X4的列向量相乘时，无法进行运算，因为它不符合矩阵乘法运算的要求。
  • 当一个4X4的矩阵A和一个4X4的矩阵B相乘时，将得到一个新的4X4的矩阵。但值得注意的是A*B不等于B*A，因为矩阵的乘法不符合乘法交换率。

（三）D3D中为什么要使用4*4的变换矩阵

在D3D中，我们通常使用4*4的矩阵来进行矩阵的世界转换，因为我们无论是1*4的向量还是4*4的矩阵，在乘以4*4的矩阵后，其结构都不会变化，仅仅是改变了其中的值。

我们可以试图理解我们为什么要使用4*4的矩阵。粗看起来，似乎3*3的矩阵更适合用在3D中，因为我们的三维坐标系需要的就是三个参数，但我们在很多的变换，如位移，计算投影，反射时都需要一个额外的参数来参与运算，所以我们必须使用4*4的矩阵来进行变换控制。

（四）平面

我们假如有一个向量，又有空间中的一个点，我们能够获得空间内的一个平面，这是有且仅有唯一的。

假如我们由n向量和p点确定了一个平面，那么n是垂直于这个平面的，也就垂直于平面上任何一条线。此时假如我们在平面上还有一个点为q，那么p与q的连线必定在平面上，也必定与n垂直。用公式表示则是n*q+p=0

由上式可以推导出，假如n*q+p<0，那么q点就不再位于平面上，而是平面的前方，是平面的正方向中 相反，若n*q+p>0，则q是在平面的后方，在平面的负方向中。

我们通常通过这个来控制游戏中的碰撞检测，假如判断一个子弹和一个物体是否进行了碰撞，我们可以判断这个值与0的关系。